欧拉筛法

原创程画 最后发布于2018-05-15 18:24:08 阅读数 4146 收藏

想看欧拉筛法的可直接拉到最后

相信各位对素数并不陌生,素数就是指不能被除了1和自身以外的别的数整除的数,比如2,3,5,而且根据欧几里得的证明来看,素数是无限的,普通的筛选素数的方法可能对较小的数据能在较短时间内完成筛选,但对于很大的数据(比如1e9)就会花费很长的时间。

1.普通的求素数方法

例如,普通的求素数方法时这样的:

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int pri[MAXN];
int cnt=0;
void prime(int n)
{
cnt=0;
pri[cnt++]=2;
int i,j;
for(i=3;i<=n;++i)
{
for(j=2;j<i;++j)
{
if(i%j!=0)
break;
}
if(j>=i)
pri[cnt++]=i;
}
}

根据素数的定义所写的代码很容易理解,但是运行的效率是不太优秀的,所以我们要改进,当然在学习的过程中相信大家也或多或少的学了些改进方法,一个简单的改进方法就是将第二个循环的结束条件改为j<sqrt(i),相应地再更改判断条件,这样当然可以减少我们运行所需要的时间,但是任然不够好,下面我们就来介绍一下埃式筛法和今天的真正目标——欧拉筛法。

2.埃式筛法

先来介绍埃式筛法,埃式筛法的基本思想就是,当我们遍历到一个素数时,把所有该素数的倍数(自然是合数)都筛选出来,我们来看看代码:

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int prime[MAXN];
bool vis[MAXN];
int cnt=0;
void Era_prime(int n)
{
for(int i=2;i<=n;++i)
{
if(!vis[i])
prime[cnt++]=i;
for(int j=i;j<=n;j+=i)
{
vis[j]=true;
}
}
}

当我们有没被选过的素数时,加入素数数组prime并且将它的所有n以内的倍数给筛选出来(vis[j]=true),埃式筛法很容易理解,并且在效率上也比较优秀,时间复杂度为O(nlglgn),但是在处理1e8以上的数据时,还是稍稍力不从心,所以接下来我们着重介绍下线性时间筛法——欧拉筛法,我们还是先来看下代码:

3.欧拉筛法

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int prime[MAXN];
bool vis[MAXN];
int cnt=0;
void Euler_prime(int n)
{
for(int i=2;i<=n;++i)
{
if(!vis[i])
{prime[cnt++]=i;vis[i]=true;}//vis[i]置为true或不置true都可以
for(int j=0;j<cnt;++j)
{
if(i*prime[j]>n)//判断是否越界
break;
vis[i*prime[j]]=true;//筛数
if(i%prime[j]==0)//时间复杂度为O(n)的关键!
break;
}
}
}

我们注意到,在用埃式筛法的同时,同一个数字也许会被筛选多次,比如6先被2筛选一次,再被3筛选一次,这样就浪费了很多不必要的时间,而欧拉筛法通过if(i%prime[j]==0)break;这一步就避免了重复筛选的发生,我们举个例子,比如,2先筛选了4,然后进行下一个循环,3筛选6和9,当我们执行到4的时候,可以发现,当i==4时,第一次运行到if(i%prime[j]==0)这一步的时候就直接break;掉了,这也就是说,当我们的合数进入循环时,其实它已经被之前的数筛选过了,所以当合数进入内层循环时,内层循环只执行了一次,从而减少了时间复杂度。

结束

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